Terug naar de inhoudsopgave BBM
Wiskundige achtergronden bij
de F R A C T A L - o r g a n i s a t i e
© Jules Ruis
Met dank aan prof.dr. J. Molenaar van het IWDE en prof.dr.ir. J.B.O.S. Martens van ID TU/e
van de Technische Universiteit Eindhoven
Inhoudsopgave
(Bron: 'Chaos, Fractals & Dynamica' van Robert L. Devaney)
Inleiding Wat zijn dynamische systemen ? De begrippen 'functie' en 'iteratie' De 'baan' van een dynamisch systeem Iteratie met behulp van de computer Grafische analyse De kwadratische familie Iteratie in het complexe vlak De Julia-verzameling De Mandelbrot-verzameling Geometrische iteratie en fractals Chaos Julia-verzamelingen van andere functies
13.1 Polynomen van een hogere graad
13.2 De formule van Euler
13.3 Julia-verzamelingen van transcendente functies
13.4 Explosie van Julia-verzamelingenDe Julius-verzameling
De Julius-verzameling De 'vulling’ van de Julia-verzamelingen; het ‘Ruis-gebied’ De Julius-Ruis-verzameling De inverse functies van polynomen De 3e dimensie van de Julius-Ruis-verzameling Het computerprogramma BBM.exe
Veel mensen denken dat wiskunde een dood vak is; dat de wiskunde zijn einde vond bij Pythagoras, wiens stelling zich de meesten van ons nog wel herinneren. Wij hebben er als regel geen notie van wat de wiskunde in werkelijkheid doet, met welke vraagstukken het zich bezighoudt en wat de drijfveren zijn voor wiskundigen om er mee aan de slag te gaan. Het onderwerp 'dynamische systemen' biedt de gelegenheid de wiskunde in een meer modern daglicht te plaatsen. Juist vanuit haar klassieke en 'universele' karakter vormt de wiskunde de basis voor alle andere disciplines. Helaas loopt een aantal vakgebieden ver achter in het gebruik van de 'moeder van alle wetenschappen'. Met name de organisatiekunde heeft in het licht van de jongste ontdekkingen op wiskundig gebied uitdagende mogelijkheden laten liggen.
2. Wat zijn 'dynamische systemen' ?
Naast de studie van systemen in evenwicht ('statische systemen') onderscheiden we een tak in de wiskunde die zich bezig houdt met 'dynamische systemen'. Dit zijn in beweging verkerende processen; processen die in de loop der tijd veranderingen ondergaan. Dynamische systemen treffen we aan in alle disciplines. De veranderende weersomstandigheden in de metereologie, de fluctuaties van de populatie-omvang in de ecologie en de groei van bloemen en planten in de biologie. Ook in de organisatiekunde van vandaag staan veranderingen centraal, in belangrijke mate in gang gezet door de dynamiek van de voor een organisatie relevante omgeving. Ten behoeve van dit vakgebied treft u onderstaand een wiskundige inleiding aan op het gebied van 'dynamische systemen'.
3. De begrippen 'functie' en iteratie'
Vanuit wiskundige optiek gaat het in een dynamisch systeem met discrete tijdstappen om het telkens weer (bijvoorbeeld n keer) toepassen van een wiskundige functie of afbeelding. Een functie is een operatie (een opdracht, een bewerking) die volgens een voorgeschreven recept, bij elk getal uit een zekere verzameling van getallen één bepaald getal produceert. Een bekend voorbeeld is de 'kwadraat'-functie: T(x)=x² hetgeen betekent, dat bij elk getal x het product van dat getal met zichzelf wordt afgeleverd. 'Iteratie' betekent dat dit proces telkens wordt herhaald, waarbij een verkregen uitkomst (output) weer wordt gebruikt als input voor de volgende berekening. Het 'iteratie proces van de kwadraatfunctie in n-stappen', in formule: Tn(x)=x², gaat uit van een bepaalde gekozen startwaarde ‘x’ en bestaat er uit dat de gekozen functie T(x) achtereenvolgens n maal wordt herhaald. Het iteratie-proces van de kwadraat-functie met 3 iteratiestappen levert voor de startwaarde '2' de tussenuitkomsten '4' en '16' op en heeft als einduitkomst de waarde '256'. Naast de 'kwadraatfunctie' T(x)=x² en vergelijkbare functies van een hogere graad, beschouwen we in deze verhandeling ook S(x)=sin x, C(x)=cos x en E(x)=exp x.
4. De 'baan' van een dynamisch systeem
De rij van de geïtereerde waarden van een punt/getal noemen we de baan van dat punt/getal. Zo bestaat de baan van 2 onder de functie T(x)=x² uit de rij van getallen: 2, 4, 16, 256, 65536, etc. Deze rij nadert op de duur 'oneindig'. Dit is het geval voor alle getallen x, waarvan de absolute waarde groter is dan 1 (|x|>1). Indien |x|<1 dan nadert de rij naar 0. Indien x=1 dan geldt dat Tn<(x)=1 voor alle waarden van n. We hebben hier te doen met een vast punt van T, ook wel dekpunt genoemd.
Het onderzoek naar het gedrag van alle banen van een gegeven dynamisch systeem noemen we baan-analyse. Nu doet zich de fundamentele vraag voor: ‘Kunnen wij voor een gegeven dynamisch systeem voorspellingen doen omtrent het lot van alle banen? Kunnen wij van te voren vast stellen wat er zal gebeuren bij voortgezette iteratie.’
Voor een aantal systemen luidt het antwoord bevestigend. In werkelijkheid kan een dynamisch systeem echter heel veel verschillende baantypen vertonen. We noemen een aantal van deze baantypen.
- Een belangrijk baantype, zoals in het geval van x² en sin x, wordt geleverd door een dekpunt. Een dekpunt van F is een punt xo waarvoor geldt dat F(xo)=xo.
- Een ander type baan is de periodieke baan of cykel (eigenlijk 'cyclus'). De baan van het punt xo noemen we periodiek als hij na een aantal iteraties N in zijn uitgangspunt xo< terugkeert. Het kleinste positieve getal N waarvoor dat geldt, heet de periode van de periodieke baan. Het punt xo noemen we een periodiek punt van periode N. Periodieke banen of cykels zijn van belang, omdat zij een weerspiegeling zijn van zich herhalende verschijnselen in de natuur, zoals de met de seizoenen fluctuerende omvang in populaties van bepaalde soorten insecten.
- Als laatste belangrijke baantype noemen we de banen die uiteindelijk vast of uiteindelijk periodiek zijn. Deze ontstaan uit punten die weliswaar niet zelf vast blijven of periodiek zijn, maar die ergens in hun baan een vast punt of een periodiek punt hebben. Zo is bijvoorbeeld het punt x=-1 voor de functie T(x)=x² 'uiteindelijk vast', omdat T(-1) ongelijk is –1, zodat –1 geen vast punt is, doch T(-1)=1 en 1 wèl een vast punt is. Voor de functie F(x)=x4-1 is het punt 1 'uiteindelijk periodiek' omdat F(1)=0, terwijl 0 een periodiek punt is van periode 2.
Het werken met dynamische systemen vergt het maken van vele berekeningen. Nu hedentendage de personal computer beschikbaar is, met zijn fantastische snelheid van verwerking, is een gouden tijdperk voor het gebied van de dynamische systemen in de wiskunde en informatica aangebroken. Met zeer eenvoudige programma's, geschreven in Powerbasic, zijn binnen enkele seconden miljoenen berekeningen mogelijk.
De toegenomen resolutie van beeldschermen en de mogelijkheid tot presentatie van kleurenplaatjes m.b.v. LCD-projectoren, maakt een grafische, dus visuele, analyse van de gepresenteerde resultaten van dynamische systemen mogelijk. De resultaten van meerdere berekeningen kunnen zichtbaar naast elkaar op het scherm worden geplaatst. Daarbij wordt gebruik gemaakt van een goede ordening van het beschikbare kleurenpallet.
Bij het afbeelden van wiskundige functies en objecten worden de x- en y-coördinaten van de functie of het object vertaald naar vergelijkbare posities op het beeldscherm, dat als regel linksboven begint met het beeldschermpunt (0,0). We kunnen echter heel gemakkelijk het relevante deel van het beeldscherm (en daarmee de grootte van het object) verkleinen. In de door ons gebruikte computerprogramma's gaan we als volgt te werk. We berekenen binnen het relevante deel van het beeldscherm voor elk beeldschermpunt (x,y) de waarde van de functie of het object. Daarbij geven we tevens de criteria aan waaronder dat punt moet worden 'opgelicht' en zo ja, in welke kleur dat oplichten moet gebeuren.
De familie van kwadratische functies, Qc(x)=x²+c, waar c een reële parameter is, vertoont een uiterst gecompliceerd dynamisch gedrag. We hebben hier te doen met een simpele niet-lineaire functie (d.w.z. niet van de vorm ax+b). We zoeken op de eerste plaats die c-waarden, waarvoor de dynamica van Qc(x) interessante eigenschappen vertoont. M.a.w. we zoeken voor elke c-waarde de verzameling van xo-waarden, waarvan de Qc-baan niet naar oneindig wegtrekt. Dit blijkt het geval te zijn voor c<=¼. Alle banen van Qc voor c>¼ trekken weg naar oneindig. Als c afneemt langs c=¼ zien we hoe een paar dekpunten 'geboren wordt'. Hier zien we een voorbeeld van bifurcatie. Bifurcatie betekent een 'splitsing in tweeën', een 'wijziging', een 'vertakking'. In het gegeven voorbeeld zien we dat Qc voor het eerst een dekpunt heeft als c=¼, en dat er plotseling bij kleiner wordende waarden van c een splitsing in twee dekpunten verschijnt. Dit is een voorbeeld van wat bekend staat onder de naam zadelknoop-bifurcatie.
We kunnen de functie Qc ook toepassen op complexe getallen en voor de parameter c een complex getal kiezen. De iteratie van een functie van een complexe variabele behoort ongetwijfeld tot een van de meest fascinerende onderwerpen van de dynamica. Het complexe getal i voldoet aan de betrekking i²=-1. Er bestaat uiteraard geen reëel getal dat aan deze voorwaarde voldoet. Een complex getal ziet eruit als z=x+iy, waar x en y reële getallen zijn. Het getal x heet het reële deel van het complexe getal z en het getal y draagt de naam imaginaire deel van z. Complexe getallen hebben een geometrische interpretatie. Een complex getal kan immers in het vlak worden afgebeeld als het punt (x,y). Elk punt van het vlak kan dus worden gezien als een complex getal. Het getal i komt daarbij terecht in het punt (0,1). De modulus | x+iy | van het complexe getal x+iy is per definitie de afstand van het punt (x,y) tot de oorsprong. Met complexe getallen kunnen algebraïsche bewerkingen worden uitgevoerd. Bijv. z² = x² - y² + i(2xy) en ez = ex (cos y + i sin y)
In het dynamisch gedrag van de complexe kwadraatfunctie overheersen twee soorten van gedrag: punten met modulus kleiner dan 1 itereren naar het dekpunt 0; punten met modulus groter dan 1 itereren naar oneindig. Dan resteren nog de punten waarvan de modulus precies gelijk is aan 1. Die punten vullen de 'eenheidscirkel' van het complexe vlak op. De verzameling van die punten vormt de zogenaamde Julia-verzameling van de functie T(z)=z².
Rond 1918 ontdekte de Franse wiskundige Gaston Julia (1893-1978) vele eigenschappen van de verzameling die thans zijn naam draagt. Voor een polynoom-functie luidt de nauwkeurige definitie van zijn Julia-verzameling aldus: het is de rand van de verzameling der punten waarvan de baan wegtrekt naar oneindig. In het kader van deze inleiding zijn vooral de geometrische eigenschappen van de Julia-verzameling interessant. In figuur 9 treft u een voorbeeld van een Julia-verzameling aan van Qc(z)= z²+c voor de waarde c=-0,75. Zoals reeds eerder opgemerkt, is het eigenlijk de rand, of de grens, van de getekende plaatjes die de naam Julia-verzameling draagt. De volledig gekleurde verzameling wordt aangeduid met de naam opgevulde Julia-verzameling, of uitgebreide Julia-verzameling. We zullen tijdens het toenemen van de c-parameter tot 0,25 aldaar een 'implosie' te zien krijgen van de opgevulde Julia-verzameling. Tijdens het passeren van dit bifurcatiepunt desintegreert de Julia-verzameling tot fractaal stof, een structuur die formeel de naam Cantor-verzameling draagt. Dit verschijnsel vindt bij het passeren van de Julia-grens (van binnen naar buiten) op elke plek plaats. Bij het afnemen van c vindt bij het passeren van het punt c=-0,75 een periodeverdubbelings-bifurcatie plaats.
Fig. 9. Julia-verzameling voor c=-0,75
Het dynamisch gedrag van de kwadratische functie Qc(z)=z²+c (met c als complexe parameter) kan voor verschillende waarden van c sterk uiteenlopen. Ook bij de Julia-verzamelingen (J) van de Qc's is er voor verschillende waarden van c een grote variatie van vormen te zien. Het was de wiskundige Benoit Mandelbrot die ontdekte dat de naar hem genoemde Mandelbrot-verzameling (M) een soort 'catalogus' verschaft van al deze uiteenlopende structuren (M vormt een soort parameter-bassin voor J). We leggen er de nadruk op dat de Mandelbrot-verzameling een deelverzameling is in het c-vlak en dus niet ligt in het z-vlak waar de Julia-verzamelingen hun leven doorbrengen.
De Mandelbrot-verzameling is betrekkelijk eenvoudig te construeren, ondanks zijn gecompliceerde aard. Hiertoe bekijken we de baan van 0 onder Qc voor elke waarde van de parameter c. Omdat deze baan zo'n speciale, kritische rol vervult in het duiden van de dynamica, staat deze bekend als kritische baan, terwijl het punt 0 de naam kritisch punt draagt. Hoewel het dus voor de hand ligt te zoeken naar die c-waarden, waarvoor de kritische baan niet naar oneindig trekt, werd de vraag pas in 1978 door Mandelbrot gesteld (en beantwoord). Als een van de eersten vroeg hij naar de gedaante van de verzameling van c-waarden met niet naar oneindig wegtrekkende kritische baan. Zijn vondst is wel eens aangemerkt als 'het meest ingewikkelde object uit de gehele wiskunde'. Het wordt ook wel het 'Appelmannetje van Mandelbrot' genoemd. In figuur 10 treft u de Mandelbrot-verzameling aan.
Fig. 10. De Mandelbrot-verzameling
De verzameling M bestaat uit een dominerend hartvormig gebied, waaraan verscheidene 'versieringen' zijn vastgehecht. De spitse punt van het hartvormige gebied bevindt zich precies in het punt c=¼, het punt waar de zadelknoop-bifurcatie optreedt. Direct links van het hartvormige gebied bevindt zich een groot cirkelvormig gebied. Deze 'bobbel' is aangehecht bij het punt c=-¾, het punt van de periodeverdubbelings-bifurcatie. Tenslotte is er nog een 'staart' of 'antenne' te zien, die naar links wijst. Die staart ligt op de reële as en eindigt precies bij c=-2, de parameterwaarde waarvoor oneindig veel periodieke punten kunnen worden aangewezen.
Bij het nader inzoomen van bepaalde gebieden van M verschijnen kleine kopieën van M. In de 'baby'-Mandelbrot verzamelingen treffen we dezelfde structuur aan als in de 'moeder'-verzameling. De M-verzameling is een samenhangende verzameling. De ogenschijnlijk losse 'eilandjes' die in de omgeving van het hoofdgebied zijn te zien, zijn in werkelijkheid verbonden door dunne sprietige draadjes, die in de gebruikte resoluties helaas niet zichtbaar zijn.
11. Geometrische iteratie en fractals
In de wiskunde zijn er veel processen die geïtereerd kunnen worden. We hebben gezien hoe de iteratie van een functie verloopt. De iteratie van bepaalde geometrische constructies produceren de gecompliceerde objecten die met de term 'fractal' worden aangeduid. Mandelbrot kwam tot het inzicht dat de vreemde, schijnbaar gekunstelde constructies die eerdere wiskundigen hadden geschapen, in het geheel niet zo pathologisch waren als men eerst dacht. Hij toonde het tegendeel aan door te laten zien dat allerlei natuurobjecten zoals kustlijnen, wolken, bladeren en bergketens door fractals te beschrijven zijn. De gewone geometrische constructies met rechte lijnen en gladde krommen en oppervlakten waren ontoereikend om de ingewikkelde patronen uit de natuur te begrijpen en te beschrijven.
Wat is eigenlijk een fractal? Men kan zeggen dat een fractal een geometrische vorm is, een object dus, met een gebroken (fractale) dimensie. Het object is bovendien veelal gelijkvormig; het levert bij herhaalde vergroting steeds weer hetzelfde beeld op. Daarbij kunnen we onderscheiden:
- zelf-similaire fractals; geconstrueerd door een constructieregel herhaald toe te passen. Voorbeelden hiervan zijn de 'zeef van Sierpinski' (een gelijkzijdige driehoek, waaruit we al itererend de middelste driehoek verwijderen) en de 'kromme van Koch' (onstaat door een oneindige reeks van toevoegingen aan de rand van een gelijkzijdige driehoek).
- niet zelf-similaire fractals; bij inzoomen krijgen we steeds hetzelfde patroon te zien, maar het is niet exact een kopie van het gehele object. De Julia-verzameling en Mandelbrot-verzameling zijn hiervan voorbeelden.
Rest de vraag hoe we aan een geometrisch object een dimensie toekennen. De dimensies van een lijnstuk, een vierkant en een kubus zijn respectievelijk 1, 2 en 3. Voor meer ingewikkelde constructies gebruiken we een meer formele benadering. Daarbij delen we een object op in stukken, elk met een afmeting gelijk aan het n-de deel van de afmeting van het oorspronkelijke object. Hoeveel stukken hebben we dan nodig om het oorspronkelijke object samen te stellen? In de gegeven voorbeelden respectievelijk n¹, n² en n³ stukken. We definiëren de dimensie D nu als volgt: D=log(aantal stukken)/log(vergrotingsfactor). Voor de zeef van Sierpinski geldt: D=log3/log2=1.585…; jawel, een dimensie die ongelijk is aan een geheel getal. Dit noemen we een gebroken dimensie.
Het begrip 'chaos' is een van de belangrijkste nieuwe thema's in de wiskunde. In feite worden we omringd door chaos. De warrelende patronen die een wervelstorm op het radarscherm van de metereoloog teweegbrengt, de draaikolken en het geruis van een bergstroom, de fluctuaties in de aandelenmarkt, de grillige patronen van opstijgende rookwolken; het zijn allemaal verschijnselen die zich schijnen te onttrekken aan orde en voorspelbaarheid. Al deze fenomenen zijn van nature chaotisch. De wezenlijke doorbraak die de wiskundigen recentelijk tot stand brachten, baseert zich op het inzicht dat chaotische systemen niet noodzakelijk van een groot aantal variabelen moeten afhangen, maar dat zelfs één enkele variabele al chaos kan produceren. Een zeer essentieel kenmerk van chaotische systemen is de gevoelige afhankelijkheid van de beginwaarden. ('Een kuchje in Peking kan een storm in New York veroorzaken').
De complexe kwadraatfunctie T(z)=z² is een goed voorbeeld van een chaotische functie. Natuurlijk zijn niet alle banen van de kwadraatfunctie onvoorspelbaar. Wij zagen al dat de baan van z voor |z|<1 getrokken wordt naar het aantrekkende dekpunt 0. Als |z|>1, dan trekt de baan van z naar oneindig. De overige punten liggen op de eenheidscirkel |z|=1. Deze eenheidscirkel valt precies samen met de Julia-verzameling van T.
De in voorgaande paragrafen aan de orde gekomen familie van kwadratische functies is de eenvoudigste groep van niet-lineaire functies. Er zijn evenwel vele andere functie-families waarin de besproken verschijnselen en andere interessante fenomenen zich voordoen.
13.1 Polynomen van hogere graad
Elk polynoom heeft een Julia-verzameling, maar ter wille van de eenvoud zullen we ons beperken tot de speciale polynomen van de vorm Pn,c(z)=zn+c, waar n=3, 4, 5, 6….. De exponent n heet de graad van de polynoom. Omdat de polynomen Pn,c een enkele kritische baan hebben, bestaat er voor elke n een analogon van de Mandelbrot-verzameling. Net als bij de kwadratische familie bestaat dit analogon uit alle c-waarden waarvoor de kritische baan van Pn,c (n>2) niet naar oneindig wegtrekt. Die verzameling valt weer precies samen met de verzameling c-waarden waarvoor de Julia-verzameling van P2,c samenhangend is. De aldus verkregen verzameling draagt de naam bifurcatie-verzameling van graad n (het eerder genoemde parameter-bassin).
In de figuren 13-A1 t/m 13-D1 treft u de bifurcatie-verzamelingen aan van de graad 3, 4, 5 en 6. In de figuren 13-A2 t/m 13-D2 treft u de Julia-verzamelingen aan voor de polynomen met de overeenkomstige graad. De verschillende c-waarden hiervan liggen in het gebied -2<c<-.7
De verzamelingen voor n=2 werden reeds afgebeeld in de figuren 9 en 10.
Fig. 13-A1. Bif.-verz. van graad 3
Fig. 13-A2. Julia-verz. voor z graad 3
Fig. 13-B1. Bif.-verz. van graad 4
Fig. 13-B2. Julia-verz. voor z graad 4
Fig. 13-C1. Bif.-verz. van graad 5
Fig. 13-C2. Julia-verz. voor z graad 5
Fig. 13-D1. Bif.-verz. van graad 6
Fig. 13-D2. Julia-verz. voor z graad 6
De formule van Euler legt een verband tussen de exponentionele functie en de trigonometrische functies sin x en cos x. De gebruikelijke exponentionele functie wordt geschreven als ex of exp x, waar e het grondtal is van de natuurlijke logaritme. Het getal e is bij benadering gelijk aan 2.71828…. De exponentionele functie komt veelvuldig voor in de wiskunde en ook in andere wetenschappen, waar hij opduikt in processen als populatiegroei, samengestelde interest en radioactief verval. De formule van Euler stelt ons in staat om een complex analogon te vinden van exp x, sin x en cos x.
De formule van Euler luidt: eix = cos x + i sin x
Kiezen wij in de formule van Euler voor x de waarde pi , dan resulteert de volgende verrassende gelijkheid: ei.pi = cos pi+ i.sin pi = –1
M.b.v. de formule van Euler kunnen we de e-macht van een complex getal vinden:
ez = e(x+iy) = ex (cos y + i sin y)
13.3 Julia-verzamelingen van transcendente functies
Functies zoals de exponentiële functie, de sinus en de cosinus worden transcendente functies genoemd. Voor transcendente functies concentreren wij ons op de verzameling van punten waarvan de baan naar oneindig wegtrekt. In figuur 13-E1 treft u de bifurcatie-verzameling van de exponentionele functie aan. In figuur 13-E2 is een Julia-verzameling van Ec(z) = c.ez afgebeeld.
Fig. 13-E1. Bif.-verz. exp.functie
Fig. 13-E2. Julia-verzameling van c.ez
Met behulp van de formule van Euler kunnen we de complexe sinus en de complexe cosinus introduceren.
sin z = (eiz – e–iz)/2 en cos z = (eiz + e–iz)/2
In figuur 13-F1 en figuur 13-G1 treft u de bifurcatie-verzamelingen van de sinus en de cosinus aan. In figuur 13-F2 en figuur 13-G2 zijn de Julia-verzamelingen van sin z en cos z afgebeeld.
Fig. 13-F1. Bif.-verzameling sinus
Fig. 13-F2. Julia-verz. van sin z
Fig. 13-G1. Bif.-verz. cosinus
Fig. 13-G2. Julia-verz. van cos z
13.4 Explosie van Julia-verzamelingen
We hebben gezien dat Julia-verzamelingen van polynoom-functies soms dramatische veranderingen ondergaan, namelijk bij een zadelknoop-bifurcatie en een periodeverdubbelings-bifurcatie. Soortgelijke gebeurtenissen vinden ook plaats bij transcendente functies. De spectaculaire bifurcaties zoals we die bij de complexe exponentiële functie, de complexe sinus en de complexe cosinus tegenkomen, duiden we aan met de term explosie. Dit gedrag in de complexe dynamica werd voor het eerst waargenomen in het midden van de jaren tachtig. Zo ondergaat de Julia-verzameling van cez een dramatische wijziging vanaf circa c=1/e = 0.36788.
In figuur 13-H is deze explosie vanaf x=0,4 in 25 stappen van 0,001 weergegeven.
Fig. 13-H. Explosie van cez vanaf x=.4 in 25 stappen van 0,001.
Ook in de familie c sin z en c cos z treden soortgelijke verschijnselen op bij het passeren van de grenzen van de bifurcatieverzameling. In figuur 13-I is de explosie van (0.6+0.8i) sin z in een reeks van 25 afbeeldingen weergegeven. In figuur 13-J zijn voor 0,7i cos z met 25 stappen van y=0.001 de veranderingen afgebeeld.
Fig. 13-I. Explosie van (0.6+0.8i) sin z
Fig.13-J Explosie van 0.7i cos z
In bovenstaande beschouwing hebben we (met uitzondering van figuur 13-H) steeds één enkele Julia-verzameling afgebeeld. Met een meer iteratief gebruik van het specifiek voor dit doel ontworpen computerprogramma is het mogelijk meerdere ‘plaatjes’ tegelijk op het scherm te vertonen. Daarbij houden we op het scherm in principe de x/y-grenzen aan, met x = Re(c) en y = Im(c), waarbinnen een bepaalde functie nog een Julia-verzameling vertoont. Dit zijn dus de grenscoördinaten van de bifurcatie-verzameling. We beelden voor een systematische reeks van beeldschermpunten de Julia-verzamelingen in verkleinde vorm af op het scherm, bijvoorbeeld in een aantal van 20 x 20 = 400 plaatjes. Het resultaat is een totaal-patroon, dat overeenkomt met de bifurcatie-verzameling van de desbetreffende functie. Deze meta-verzameling van Julia-verzamelingen noemen we, refererend aan de voornaam van de schrijver van dit artikel, de 'Julius-verzameling'. Wiskundig heet dit het direct product van twee ruimten. In figuur 14 treft u de Julius-verzameling aan voor de polynoom z²+c.
Fig. 14. De Julius-verzameling voor z²+c
De afgebeelde Julius-verzameling loopt van –1.5<Re(c)<0.5 en van –1<Im(c)<1
15. De 'vulling' van de Julia-verzamelingen; het Ruis-gebied
Zoals eerder aangegeven wordt de Julia-verzameling gedefinieerd als de grens tussen banen die wegtrekken naar oneindig en banen die itereren naar 0. Het gebied van alle banen die convergeren naar 0 definieerden we als de opgevulde Julia-verzameling. Thans definiëren we het gebied van alle banen die wegtrekken naar oneindig als de uitgevulde Julia-verzameling. Het betreffende gebied noemen we het Ruis-gebied. Gegeven een bepaald complex getal c=a+ib onderzoeken we voor elk beeldschermpunt B in een aantal iteratie-stappen het gedrag van de baan van het betreffende getal c. Daarbij gelden de volgende uitgangspunten.
We definiëren een relatief klein getal e , met 0<e <1, en een relatief groot getal t , met t >1. Noemen we de afstand tussen twee opeenvolgende iteratie-beelden 'd' dan geldt:
d=(x-x1)(x-x1) + (y-y1)(y-y1). We zeggen nu dat het betreffende beeldschermpunt een element is van de opgevulde Julia-verzameling indien c.q. zodra d<e .
We zeggen dat het beelschermpunt een element is van de uitgevulde Julia-verzameling indien c.q. zodra d>t
De k-de stap waarbij voor de eerste keer aan de e /t -voorwaarde wordt voldaan noemen we het vluchtgetal K. Aan elk vluchtgetal koppelen we een bepaalde kleur van het pixel dat moet worden opgelicht. Daarmee ontstaan op het scherm samenhangende kleurpatronen met eenzelfde vluchtgetal. Door de waarden van de getallen e en t te variëren ontstaan verschillende structuren.
In de literatuur wordt aan de afgebeelde kleurpatronen nauwelijks aandacht besteed. Nader onderzoek hiervan levert verbluffende resultaten op. De samenhang in de kleurpatronen die aanwezig blijkt tussen opeenvolgende Julia-plaatjes, maakt het geheel tot een film van metaforische groei. In figuur 15 treft u een voorbeeld aan van een Julia-verzameling, die zowel is opgevuld als uitgevuld. Hierin is waar te nemen dat het kleurenpatroon, vertrekkend vanuit de rand van de Julia-verzameling, naar binnen en naar buiten in eenzelfde volgorde verloopt.
Fig. 15. De Julia-Ruis-verzameling, zowel opgevuld als uitgevuld, van z²+c voor c=-,75
16. De Julius-Ruis-verzameling
Het is met een kleine wijziging in het computerprogramma ook mogelijk de Julius-ver-zameling ‘uitgevuld’ af te beelden. Deze uitgevulde Julius-verzameling noemen we de Julius-Ruis-verzameling. In figuur 16A treft u deze verzameling aan voor z²+c.
Fig. 16A. De Julius-Ruis-verzameling voor z²+c
Duidelijk is te zien dat de Julius-verzameling gelijkenis vertoont met de Mandelbrot-verzameling. Bovendien is helder waar te nemen, dat de afbeeldingen in de omgeving van de Julius-verzameling (waarvan we eerder dachten dat de Julia-verzameling overging in fractaal stof, om vervolgens geheel te verdwijnen) ook een fractal-structuur bezitten.
Meerdere Julius-Ruis-verzamelingen
In figuur 16-B t/m 16-J zijn de Julius-Ruis-verzamelingen afgebeeld voor de eerder in deze notitie behandelde functies. Bij elke JR-verzameling is tevens de bijbehorende bifurcatie-verzameling opgenomen, echter thans voorzien van een uitgevuld Ruis-gebied.
Voor de volledigheid zijn ook de functies van graad 1 opgenomen. Dit zijn lineaire afbeeldingen. Derhalve worden 'slechts' cirkels getoond.
Fig. 16-B1. Bif.-Ruis-verz. van graad 1
Fig. 16-B2. JR-verzameling voor z graad 1
Fig. 16-C1. Bif.Ruis-verz. van graad 2
Fig. 16-C2. JR-verzameling voor z graad 2
Fig. 16-D1. Bif.Ruis-verz. van graad 3
Fig. 16-D2. JR-verzameling voor z graad 3
Fig. 16-E1. Bif.Ruis-verz. van graad 4
Fig. 16-E2. JR-verzameling voor z graad 4
Fig. 16-F1. Bif.Ruis-verz. van graad 5
Fig. 16-F2. JR-verzameling voor z graad 5
Fig. 16-G1. Bif.Ruis-verz. van graad 6
Fig. 16-G2. JR-verzameling voor z graad 6
Fig. 16-H1. Bif.Ruis-verz. van sinus
Fig. 16-H2. JR-verzameling voor sinus z
Fig. 16-I1. Bif.Ruis-verz. van cosinus
Fig. 16-I2. JR-verzameling voor cosinus z
Fig. 16-J1. Bif.Ruis-verz. voor exp.
Fig. 16-J2. JR-verzameling voor exp. z
Elk polynoom heeft een Julius Ruis verzameling. In het voorgaande hebben wij ons beperkt tot speciale polynomen van de vorm Pn,c(z)=zn+c, waar n=3, 4, 5, 6….. De exponent n noemden we de graad van de polynoom. Met behulp van de polaire representatie van een polynoom kunnen we de speciale gevallen veralgemeniseren. Daarvoor schrijven we het complexe getal z=a+i.b als z=r.ei.fi, waarbij a=r.cos fi en b=r.sin fi; fi = arctan (b/a). Dan geldt vervolgens: zn+c=(rn.cos(n.fi)+a) + i.( rn.sin(n.fi)+b).
In figuur 17-A en 17-B treft u de Julius-Ruis-verzameling aan voor respectievelijk de polynomen z-2
en z-6 . Figuur 17-C bevat de Julia-Ruis-verzameling van c.z-6 voor c=i maal 1.2
Fig. 17-A. JR-verzameling voor z graad -2.
Fig. 17-B. JR-verzameling voor z graad -6.
Figuur 17-C. Julia Ruis verzameling c.z-6< voor c=i maal 1.2
De waarde van e , in combinatie met het getal K (het aantal iteraties), bepaalt voor een bepaald complex getal c=a+ib de structuur en de kleur van de opgevulde Julia-verzameling. Naarmate de absolute waarden van a en b afnemen, dient uiteraard een steeds kleinere waarde voor e te worden genomen om met succes (= kleurrijke scherpe inwendige structuur) te voldoen aan de waarde d<e . Bij het naderen van a,b=0,0 nadert e naar 0. Hierbij dient te worden opgemerkt dat de gebruikte computer zelfs bij mutaties van e kleiner dan 15 cijfers achter de komma (doorlopend tot zelfs het door de gebruikte computer bepaald minimum van 45 cijfers achter de komma) structuurwijzigingen te zien geeft. Dit verschijnsel hangt mogelijk samen met de opslagcapaciteit van een 32-bits computer en verdient nader onderzoek vanuit de optiek van het analyseren van fouten.
De waarde van t , in combinatie met het getal K (het aantal iteraties), bepaalt voor een bepaalde c de structuur en kleur van het externe Ruis-gebied. Bij een kleine waarde van t (bijvoorbeeld t =1) wordt bij de eerste iteratie reeds voldaan aan de voorwaarde d>t . Het vluchtgetal K is dan derhalve 1 (in het gebruikte kleurenpallet de kleur ‘wit’). Bij groter wordende t vult de Ruis-ruimte zich met meerdere kleuren; de Ruis-ruimte dijdt dan als het ware uit. Bij het verder toenemen van t (tot het door de gebruikte computer bepaald maximum van 38 cijfers voor de komma) lossen de buitenkleuren als het ware weer geleidelijk aan op.
Met het introduceren van e en t is aan de JR-verzameling (naast x en y) een 3e dimensie toegevoegd.
Vele combinaties van 'groeiende' e en t zijn mogelijk. In figuur 18-A 1 t/m 4 treft u enkele voorbeelden aan van drie-dimensionale groei van z6 + c waarbij genoemde grootheden sprongsgewijs toenemen.(e groeit van 1 naar 10 tot de macht -45 en springt vervolgens naar 0, en t groeit van 1 naar 10 tot de macht +38, zijnde de grenzen van de gebruikte computer).
Fig. 18-A1/2/3/4 De groeiende 3e dimensie van de Julius-Ruis-verzameling
Het is interessant de a/b-coördinaten van het Ruis-gebied van de Julius-Ruis-verzameling verder uit te breiden. In figuur 18-B zijn de a/b-coördinaten van de plaatjes in figuur 18-A met een factor 5 vermenigvuldigd. Deze uitbreiding laat zien dat de binnenste gebieden van de JR-afbeelding het beeld blijven vertonen van de bifurcatie-verzameling. De buitenkant tendeert echter bij groter wordende a,b naar een cirkel. De precieze vorm verdient echter nog nader onderzoek.
Fig. 18-B. De Julius-Ruis-verzameling van z6+c (5x vergroot)
19. Het computer-programma BBM.exe
De parameters voor het genereren van Julia/Julius-Ruis-verzamelingen zijn opgenomen in een computerprogramma BBM.exe, waarmee op systematische wijze bovengenoemde fractallen kunnen worden afgebeeld. BBM staat voor Bewustzijns Besturings Model.
De Julius-verzamelingen van de diverse functies bestrijken (met uitzondering van de exponentionele functie) in het BBM.exe hetzelfde gebied. Dit gebied is de basis voor een genormeerd BBM, het Norm Bewustzijns Besturings Model. De functies zijn hierin genormeerd op 20 eenheden op elke as. De gebieden zijn:
Polynomen: -2 < x < 2 en -1.5 < y < 1.5
Sin/cos-functie: -2 < x < 2 en -1.5 < y < 1.5
Exponent. functie: -4 < x < 1 en -3 < y < 3
Het BBM.exe bestaat uit drie hoofdprogramma's:
- Programma voor het afbeelden van de bifurcatie-(Ruis)-verzamelingen (Mandelt.exe)
- Programma voor het afbeelden van Julia-(Ruis)-verzamelingen.
- Programma voor het afbeelden van Julius-(Ruis)-verzamelingen.
De volgende variabelen kunnen in elke combinatie naar de wens van de gebruiker worden gekozen.
- Naam van de gebruiker.
- Bifurcatie-verzameling (y/n)
- Soort object: polynoom graad n=1 t/m 8, of sin, cos of exp.
- In genormeerde vorm of niet (norm heet BBM).
- Afbeelden met/zonder beeldinformatie/tekst (alleen bij beeld 1).
- Alleen opgevulde of ook uitgevulde Ruis-verzameling (heet 'omgeving').
- Aantal 'beeldjes' op scherm (400, 25, 9, 3 in 1, of 1).
- Vergrotingsfactor (VF) buitenwereld (bij BBM met omgeving).
- Itereren van x, y of x/y gelijktijdig.
- Grootte van de x/y iteratie stappen.
- Itereren van max. aantal stappen n (max. K) en daarmee kleur-iteratie.
- Grootte iteratie-stappen K.
- Itereren van getal e (kleinste ondergrens) en daarmee de inwendige structuur (niet van invloed op sin, cos en exp.).
- Grootte iteratie-stappen e .
- Itereren van getal t (grens voor buitenwereld) en daarmee de uitwendige structuur (alleen in combinatie met ‘omgeving’).
- Beeldschermgebied N itereren (grootte van het plaatje).
- Grootte iteratie-stappen N.
- Startwaarde A (x); in BBM: A
- Startwaarde B (y); in BBM: B
- Startwaarde K; in BBM: C
- Startwaarde e (P1); in BBM: D1
- Startwaarde t (P2); in BBM: D2
- Startwaarde N; in BBM: E
De afgebeelde plaatjes kunnen met de combinatie-toetsen Alt/PrtSc op het clipboard van de computer worden geplaatst. Met het programma MsPaint kunnen deze plaatjes als bestand worden opgeslagen, worden geprint of in andere programma’s worden geladen (MS Word of Powerpoint).
In figuur 19-A wordt de output van het genormeerde BBM getoond. De in het plaatje afgebeelde tekst geeft bovengenoemde startwaarden weer. In de kop van het plaatje wordt het genoemde kleurenpallet getoond (K-waarden 1 t/m 15).
Fig. 19-A. Het genormeerde Bewustzijns Besturings Model (BBM), met kleurenpallet.
Op de startpagina van dit rapport zijn de negen besproken functies conform het genormeerde BBM bijeen geplaatst. De variabelen zijn: A=4, B=0, C=13, D1=19, D2=10 en E=4.
De exp.functie vertoont langs de y-as een repeterend beeld met een cyclus van 2p . In figuur 19-B1 wordt de schitterende afbeelding getoond van de functie p .i.ez.
De exp.functie kent ook een aantal explosies. In figuur 19-B2 is een typische exponentionele explosie weergegeven.
De figuren 19-C1 en 19-C2 tonen de Julia-verzameling van z²+c voor c=0,25 respectievelijk zonder en met het zogenaamde Ruis-gebied.
Fig. 19-B1. De functie van p .i.ez
Fig. 19-B2. Explosie van de exponentionele functie in het punt (-4, 0)
Fig. 19-C1. De Julia-verzameling van z²+c voor c=0,25 zónder het zogenaamde Ruis-gebied
Fig. 19-C2. De Julia-verzameling van z²+c voor c=0,25 mét het zogenaamde Ruis-gebied
De ware fractal-liefhebber kan zelf aan het experimenteren met het programma BBM.exe. Click daarvoor op de toets 'Ga naar computerprogramma BBM.exe'. U treft daar een nadere instructie aan.
